例題主義の批判とその克服（２）

２. 新しい数理の導入段階では、機能的方法が主役となる

　まず、最初に実践例を紹介しておこう。6年生の“立体図形”を学習したときのものである。

　わたしは、角柱の模型を見せながら、まずその頂点の数を調べさせた。

「三角柱の頂点の数は、いくつですか。」

　子供たちは、三角柱の模型を見つめ、その頂点の数をかぞえた。

「６つです。」

　わたしは、三角柱の模型で実際に確かめさせた。ひとりの子どもが模型をゆびさしながら、

「上に３つ、下に３つあるから、全部で６つです。」と説明した。

「じゃ、四角柱の頂点の数は、いくつですか。」

「８つです。」

「なるほど。じゃ、五角柱の頂点の数は？」

「１０です。」

子どもたちの挙手は、ますます多くなり、早くなった。

　わたしは、おどろいた表情で

「どうして、そんなに簡単に早く頂点の数がわかるのかな。じゃ、六角柱の頂点は？」

「八角柱は？」

と、つぎつぎとたずねた。

　子どもたちは、得意になって全員いきおいよく挙手し

「１２です。」

「１６です。」

と答えた。そこでわたしは

「じゃ、百角柱の頂点の数は、いくつですか。」

と、たたみかけた。子どもたちは即座に

「２００です。」

と答えた。そして

「五角柱の頂点の数は、５×２。六角柱の頂点の数は、６×２だから、百角柱の頂点の数も、１００×２で２００になります。」

と説明した。子どもたちは、はじめは三角柱の模型を見て、つぎには四角柱、五角柱の模型をイメージとしてえがきながら、N角柱の頂点の数は、N×２で求められることを帰納的にひき出したのだ。わたしは、

「みんなは、すばらしいことに気づいたね。もし、百角柱の頂点を模型を使って、指で数えようとしたら大変なことです。ところが、みんなはそれを五角柱や六角柱と同じ考え方で頭の中で数えた。それが、算数の偉力です。“N×２”というのが、この問題の“鍵”です。みんなは、その鍵を自分の力で発見したのです。」

と、ほめてやった。子どもたちの眼は輝いた。

　つづいて、子どもたちは、N角柱の面の数はN+2。N角柱の辺の数はN×３になることをみつけた。

　最後に、わたしは“オイラーの多面体公式”

　(面の数)＋(頂点の数)−(辺の数)

が、どうなるかを調べさせた。そして、どんな角柱（多面体）でもすべて２になることに気づかせた。

　子どもたちは、数学の偉力に深く感動し、数学の魅力にとりつかれた様子であった。

　　　　　　　　　＊　　　　　＊　　　　　＊

“ぼくは、算数がとても好きになってきた。もともと算数は好きだったけど、いちだんと好きになってきた。先生は、

「算数は、クイズに似ている。」

といった。よく考えてみると本当にその通りだ。

　角柱の勉強で“オイラーの公式”を習った。三角柱でも四角柱でもみんな答えが２になった。百角柱でやっても九百九十八角柱でやっても、２になった。本当に面白い。このつぎの算数が楽しみだ。“

　これは、そのときの子どもの感想文である。

　さて、こうした新しい真理、法則の発見段階、新しい数理の導入段階では、このような帰納的方法が有効である。これは、何も図形指導に限ったことではない。

　1年生の繰り上がりの計算指導でも、

“みかんが　８こと　３こ　あります。あわせて　なんこでしょう。”

といった一つの例題だけで、８に２をたして１０，１０と１で１１と計算する方法をひき出そうとしても、なかなかうまくいかない。結局、子どもたちにいいろいろ考えさせはするが、８＋３の計算は８にまず２をたして１０とし、１０に１をたして１１と計算するのがよいと教師の考えを強引におしつけざるを得ない。子どもにしてみれば、こうした一つの例題だけでは、加数の３を２と１に分解する必要もなく、数え足す方法が一番安心でもあり、１０の補数に着目することのよさが理解できないからである。

　そこで、わたしは１年生の繰り上がりの計算指導では、たまごパックに入れた９個の卵の方を固定して、ざるを入れた卵の数をつぎつぎとかえ、はじめは具体物を示して直観的に答えを求めさせ、つぎには、たまごパックにふたをして数字で示し、イメージをよりどころに答えを求めさせ、最後にはざるの方の卵も数字でおきかえるという方法をとった。そして同一パターンの繰りかえしによって、９の１０に対する補数に着目すれば、うまく計算できることを導いた。

　3年生の（何十）×（１位数）の計算でも、全く同じである。２０×３、３０×３、４０×６---といった計算を、はじめは、おかねなどの具体物によって直観的に、つぎにはおかねをイメージとして繰りかえし答えを求めさせ、そして、２０×３といった計算では２×３は６だから、１０を６倍して６０と計算すればよいと導いた。

　こうしたいくつかの例題による帰納的方法が新しい数理を導くのに有効であるのは、具体物そして具体的なイメージによる同一パターンの直観的解決の集中的繰りかえしが、子どもの思考回路に質的変化を呼び起こすからだと思われる。

　数学者、秋月康夫教授も、その著“輓近代数学の展望”の中で

「数学そのものは公理系の純粋な演繹体系ではあるが、数学者の態度はー１つの理論をたてるにしても、新しい事実を発見するにしてもー純粋に帰納的なのである。」

といっておられる。

　だが、この帰納的方法も算数教育の全てではない。一つの数理の発展段階では、その主役を演繹的方法にゆずらなければならないのである。

（つづく）

（1980年代と思われる。掲載雑誌は不明。「算数アラカルト　算数教育への提言（２）」より）